Model Blacka-Scholesa – wycena akcji nieprzynoszących dywidendy

Przy założeniach omówionych w artykule „Model Blacka-Scholesa – założenia i definicja problemu„, wartość opcji kupna akcji  niewypłacającej dywidendy jest zadana w pełni parabolicznym, cząstkowym równaniem różniczkowym w postaci:

Równanie 1. Problem wyceny opcji kupna.

z warunkiem początkowym, będącym funkcją wypłaty z opcji w terminie jej wygaśnięcia

Równanie 2. Warunek początkowy.

Istnieje taka zamiana zmiennych X i t na odpowiednio u i τ:

Równanie 3 i 4. Zamiana zmiennych.

oraz takie podstawienie za funkcję W(X,t) funkcji y(υ, τ) w postaci:

Równanie 5. Podstawienie funkcji.

które sprowadza problem wyjściowy do postaci szczególnego, parabolicznego równania różniczkowego zwanego równaniem przewodnictwa cieplnego[1].

Równanie 6. Tzw. równanie przewodnictwa cieplnego.

Taka zdefiniowany problem implikuje rozwiązanie w charakterystycznej, wygodnej i znanej postaci wzoru Blacka-Scholesa dla opcji kupna

Równanie 7. Wartość opcji kupna akcji niewypłacających dywidendy.

gdzie:

Natomiast dla opcji sprzedaży

Równanie 8. Wartość opcji sprzedaży akcji niewypłacających dywidendy.

Proces przekształcenia Równania 1 w Równanie 7 został w pełni przedstawiony w pliku „Model Blacka-Scholesa – wyprowadzenie„.

Taka postać równań na wartość opcji kupna i sprzedaży akcji nieprzynoszących dochodów niesie za sobą kilka konsekwencji, które sprawiły, że jest on tak rozpoznawalny i wszedł do kanonu ekonomii. Co więcej, wzory te sprawiły, że wcześniej wspominane formuły wyceny opcji przeszły do historii. Stało się tak między innymi dlatego, że Black i Scholes wprowadzili dodatkowe  założenia, które uczyniły ich model jeszcze bardziej specyficznym, ale jednocześnie wygodniejszym. Dla przykładu formuła przedstawiona przez Sprankle’a w 1961 dla opcji kupna na akcje wyglądała w sposób następujący[2]:

Równania 9, 10 , 11. Model wyceny Sprankle’a.

Równanie 9  różni się od równania 7 występowaniem parametrów k oraz k^*. Pierwszy z nich, według Spranklea, jest ilorazem oczekiwanej wartości akcji w dniu wygaśnięcia opcji i aktualnej ceny akcji. Drugi natomiast jest czynnikiem dyskontującym odzwierciedlającym ryzyko danego waloru. Sprankle próbował wyznaczać wartości k oraz k^* empirycznie, ale okazało się to niemożliwe. Kolejne próby przedstawiania poprawnego wzoru na wycenę opcji były rzecz jasna rozwinięciem tej koncepcji[3].

Wartym podkreślenia jest tu wkład Sprankle’a w wycenę opcji w ogóle. Jako pierwszy zastosował on rozkład logarytmiczno-normalny jako lepiej opisujący zmiany cen akcji w ujęciu wartościowym.

Przełomowym stało się podejście Blacka i Scholesa, wynikające z tak zwanego dynamicznego delta – hedgingu przeprowadzanego w czasie ciągłym, o czym pisałem w artykule „Model Blacka-Scholesa – założenia i definicja problemu„. Pozwoliło to wyeliminować z równań parametry określające oczekiwaną stopę zwrotu z akcji, co doprowadziło formułę wyceny do de facto funkcji dwóch zmiennych – aktualnej ceny waloru X oraz czasu pozostającego do wygaśnięcia opcji t, tak jak przedstawiają to Równania 7 oraz 8. Innymi słowy jeżeli dynamiczny delta – hedging jest utrzymywany w czasie ciągłym oczekiwana stopa zwrotu z takiej pozycji musi być równa krótkoterminowej stopie procentowej r.

Założenie o dynamicznym delta-hedgingu w czasie ciągłym z jednej strony sprawia, że wzór Blacka-Scholesa jest bardzo elegancki, co jest jego niewątpliwą zaletą. Z drugiej strony sprawia ono, że model w pewnych warunkach rynkowych jest bardzo wrażliwy na zmiany parametrów, co zostanie omówione w kolejnych artykułach.

Więcej na temat analizy finansowej spółek giełdowych dowiesz się dzięki naszej dedykowanej aplikacji squaber.com oraz podczas jednego z organizowanych przez nas darmowych szkoleń online. Zapisy pod tym linkiem.