Modelowa wycena obligacji

W zeszłym tygodniu pisałem o tym, jak ciekawym instrumentem finansowym są obligacje. Czas przybliżyć podstawy ich wyceny abyśmy mogli przejść do zasad zarządzania portfelem obligacji.

Jak każdy instrument finansowy obligacje mają model wyceny. W tym wypadku jest on oparty w prostej linii o zdyskontowane przepływy pieniężne. Żeby móc go zaaplikować do w praktyce potrzebne są do zdefiniowania następujące parametry:

• Data wykupu.
• Data wyceny.
• Data ostatnie płatności odsetkowej.
• Data następnej płatności odsetkowej.
• Stopa kuponowa (w skali roku) – C.
• Stopa rentowności – YTM (założenie płaskiej krzywej rentowności).
• Ilość okresów odsetkowych w roku n.

Poniższa oś czasu prezentuje graficznie wszystkie daty związane z wycenę obligacji. Punkt czerwony oznacza datę wyceny, pomarańczowy datę ostatniej płatności kuponowej, zielony datę następnej płatności kuponowej, niebieski datę wykupu obligacji. Między datą wyceny a datą wykupu w regularnych odstępach czasu wypłacane są kupony. W dacie wykupu wypłacany jest nominał i ostatni kupon.

Rysunek 1. Przepływy pieniężne z obligacji, źródło: Opracowanie własne.

Problem wyceny obligacji jest dość prostym zagadnieniem zwłaszcza kiedy wyceny dokonujemy na dzień odsetkowy (dzień płatności kuponu) „tuż po” wypłacie kuponu. Wtedy nie ma problemu narosłych odsetek (cena jest „czysta”) i modelowa cena takiej obligacji powinna wynosić:

gdzie T to czas pozostały do wykupu w latach. Oczywiście cena ta zostanie przedstawiona w procentach wartości nominalnej.

Jeżeli wycena następuje na dzień nieodsetkowy to musimy znaleźć tzw. cenę brudną obligacji (cena czysta + narosłe odsetki). Wynosi ona (również w procentach wartości nominalnej):

Gdzie d₁ to liczba dni pozostałych do płatności kuponowej, a d₂ to liczba dni w okresie odsetkowym.

Należy pamiętać, że ceny obligacji kwotowane na rynku są cenami czystymi, niezawierającymi narosłych odsetek. Narosłe odsetki można obliczyć za pomocą wzoru:

Ostatnim problemem wyceny obligacji kuponowych jest konwencja naliczania odsetek. Oto zestawienie najpopularniejszych

Rysunek 2. Konwencje naliczania odsetek

Na koniec jeszcze dwie uwagi. Pierwsza dotyczy obligacji o zmiennym oprocentowaniu – ich cena jest ustalana w oparciu o najbliższy okres odsetkowy. Jak sama nazwa wskazuje w każdym okresie odsetkowym oprocentowanie jest inne i ustalane na jego początku więc można te obligacje w procesie wyceny traktować jako zapadające w dniu wypłaty kuponu, przy czym nie następuje w nim wypłata nominału. Co więcej, zakładając, że ustalona stopa kuponowa po wypłacie kuponu na najbliższy okres odsetkowy jest stopą właściwą do dyskontowania (YTM) przyszłej płatności to obligacja taka w tym dniu zawsze powinna być warta tyle ile wynosi jej nominał, czyli sprzedając taka obligację po wypłacie kuponu otrzymujemy de facto kupon i nominał.

Druga uwaga dotyczy obligacji zerokuponowych. Ich cena (w procentach wartości nominalnej) wyraża się wzorem:

Gdzie T to czas  do wykupu wyrażony w latach.

Już wkrótce parę słów o badaniu wrażliwości cen obligacji na zmiany krzywej rentowności (zmiana kształtu krzywej rentowności jak i przesunięcia równoległe krzywej rentowności). W dalszej kolejności słów kilka o obligacjach zamiennych na akcje i z prawem do wcześniejszego wykupu przez emitenta lub obligatariusza.