Wycena opcji walutowych – wzór Garmana-Kohlhagena

Model wyceny opcji walutowych jest analogiczny do „podstawowego” modelu Blacka-Scholesa, którego wyprowadzenie zostało przedstawione w artykułach „Model Blacka-Scholesa – założenia i definicja problemu” oraz „Model Blacka-Scholesa – wycena akcji nieprzynoszących dywidendy„. Modyfikacją jest w tym wypadku wprowadzenie kolejnego parametru, jakim jest stopa wolna od ryzyka w kraju waluty kwotowanej.

Zakładamy, że wycenie podlega opcja kupna #EURPLN. W związku z tym wprowadzone zostają nowe oznaczenia:

• r_d – wolna od ryzyka stopa procentowa w kraju waluty kwotowanej[1],
• r_f – wolna od ryzyka stopa procentowa w kraju waluty bazowej.

Pozostałe parametry są takie same jak w przypadku wyceny opcji na akcje.

Rozumowanie jakie przeprowadzili Mark Garman i Steven Kohlhagen w 1983 roku[2] zakłada, że stosunek premii za ryzyko do ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym jest taki sam dla walut i opcji na waluty  i wynosi λ. Zatem można zapisać, że:

Równanie 1. Stosunek premii za ryzyko do ryzyka dla kursu spot.

oraz

Równanie 2. Stosunek premii za ryzyko do ryzyka dla opcji na walutę.

gdzie

–        μ – „dryf” kursu spot wymiany,

–        α – oczekiwana stopa zwrotu z opcji,

–        σ_α – odchylenie standardowe oczekiwanej stopy zwrotu z opcji.

Następnie przeprowadzając analogiczną procedurę tzw. ciągłego delta-hedgingu do tej opisanej równaniami od 1 do 3 w artykule „Model Blacka-Scholesa – założenia i definicja problemu„, przy ponownym zastosowaniu lematu Ito, otrzymuje się różniczkowe równanie cząstkowe w następującej postaci:

Równanie 3. Problem wyceny po zastosowaniu lematu Ito – opcje walutowe.

Równanie 3 jest równaniem podobnym do Równania 6 z artykułu „Model Blacka-Scholesa – założenia i definicja problemu” w związku z tym, że zastosowano w nim niemal identyczną logikę założeń. Jego rozwiązanie jest analogiczne do rozwiązania zaproponowanego przez Roberta Mertona[3] w jego modelu wyceny opcji na akcje wypłacające dywidendę w wielkości proporcjonalnej do ceny akcji. W wypadku opcji walutowych założenie o proporcjonalności oprocentowania posiadanej waluty obcej wydaje się być założeniem mniej abstrakcyjnym, niż proporcjonalność dywidendy w stosunku do ceny akcji.

Rozwiązaniem Równania 3 jest cena europejskiej opcji kupna wystawionej na określoną parę walutową. Dane jest ona następującym wzorem:

Równanie 4. Wzór Garmana-Kohlhagena – opcja kupna.

gdzie:

Dla opcji sprzedaży natomiast:

Równanie 5. Wzór Garmana-Kohlhagena – opcja sprzedaży.

Równania 4 i 5 będą wykorzystywane w dalszych aktykułach do obliczenia teoretycznej wartości opcji kupna i sprzedaży wystawianych na różne pary walutowe jak również do badania wrażliwości takiej wyceny.