Co mierzy Volatility Index?

We wcześniejszym wpisie analizowałem korelację między indeksem zmienności, a szerokim rynkiem reprezentowanym przez SP 500. Takie porównanie wynika wprost z samej konstrukcji VIX. Jak wspominałem jest on kalkulowany na podstawie notowań opcji na SP 500. Dokładnie mierzy on 30 dniową implikowaną zmienność tego indeksu kalkulowaną na podstawie teorii i wzoru zaproponowanego w publikacji „More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps” wydanej w 1999 roku przez Goldman Sachs. Na tę publikację powołuje Chicago Board Options Exchange w specyfikacji swojego indeksu.

W dużym uproszczeniu, idea kalkulacji opiera się na założeniach modelu Blacka-Scholesa i polega na stworzeniu portfela, który będzie replikował „długą pozycję w przyszłej zrealizowanej zmienności”. W tym celu, przy wykorzystaniu jak największej liczby opcji, dokonuje się konstrukcji portfela, którego tzw. współczynnik vega, mierzący wrażliwość zmiany wartości portfela na zmianę wartości zmienności aktywów bazowych, jest stały w możliwie jak największym przedziale ceny aktywów bazowych. Rysunek 1 pokazuje kształtowanie się współczynników vega dla  przykładowych dwóch europejskich opcji o cenach wykonania odpowiednio 60 i 80. Warto pamiętać, że wartość współczynnika vega dla opcji kupna i sprzedaży jest taka sama.

Rysunek 1. Wartości współczynnika vega dla opcji o różnych cenach wykonania.

Autorzy wspominanej publikacji wykazali, że aby skutecznie zastosować opisywaną strategię stałego współczynnika vega, należy zbudować średnioważony portfel opcji w skład którego wchodzą zarówno opcje kupna jak i sprzedaży będące „out of the money”[1]. Wagi poszczególnych opcji są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu ceny wykonania. Rysunek 2 pokazuje dlaczego właśnie stosowanie takich wag jest uzasadnione (na rysunkach w prawej kolumnie linia ciągła). Wynika to z faktu, że opcje o wyższych cenach wykonania mają współczynniki vega o wyższej wartości. Gdyby wagi w portfelu były ustalane w sposób liniowy (na rysunkach w prawej kolumnie linia przerywana) nie udałoby się osiągnąć stałej wrażliwości na zmianę zmienności.

Rysunek 2. Proces budowy portfela o stałej wrażliwości na zmienność., źródło: „More Than You Ever Wanted To…”

W samej kalkulacji implikowanej zmienności wybiera się dwie serie kontraktów opcyjnych wygasających w dogodnych terminach. W przypadku VIX są to dwie najwcześniej wygasające serie opcji chyba, że do wygaśnięcia pierwszej pozostało mniej niż tydzień – wtedy wybiera się drugą i trzecią. Następnie dla różnych cen wykonania sprawdza się różnicę między kursami bid i ask. Cena wykonania opcji o najmniejszej różnicy jest wielkością graniczną, na jej podstawie oblicza się terminowy kurs aktywów bazowych w terminie do wygaśnięcia danej serii kontraktów (przy użyciu wolnej od ryzyka stopy procentowej). W stosunku do tej opcji określa się które z opcji są „out of the money”.

Następnie przy wykorzystaniu poniższego wzoru oblicza się implikowaną zmienność dla obu serii kontraktów opcyjnych:

Gdzie

• T to czas pozostający do wygaśnięcia danej serii (co ciekawe, liczony na bazie minutowej)
• ΔK_i to średnia różnica między cenami wykonania dla kolejnej (i+1) i poprzedniej (i-1) opcji „out of the money”,
• K_i to cena wykonania i-tej opcji „out of the money”.
• Q(K_i) cena mid dla i-tej opcji „out of the money”,
• F cena terminowa wspominana wcześniej,
• K_i cena wykonania opcji granicznej będąca pierwszą opcją o cenie wykonania poniżej F.
• R to wolna od ryzyka stopa procentowa.

Po obliczeniu wartości implikowanej zmienności dla obu serii kontraktów dokonuje się przeliczenia, które dostosuje parametr do okresu jaki ma charakteryzować.

Gdzie N oznacza liczbę minut w danym okresie.

Pracę pt. „More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps” można znaleźć w całości pod tym adresem.

http://ebookbrowse.com/more-than-you-ever-wanted-to-know-about-volatility-swaps-pdf-d171489699

Szczegółowa zasada kalkulacji VIX znajduje się tutaj.

http://www.cboe.com/micro/VIX/vixwhite.pdf