Miary wrażliwości wyceny opcji walutowych – wprowadzenie

W artykule „Wycena opcji walutowych – wzór Garmana-Kohlhagena” została przedstawiona metoda wyceny europejskich opcji walutowych. Opierała się ona o wiele założeń, których celem było umożliwienie nałożenia ram matematycznych na teorię ustalania wartości premii, jaka jest związana z opcją w każdym momencie jej życia.

Przyjęto w nich, że cena opcji zależy od dwóch zmiennych – aktualnej ceny spot S oraz czasu pozostającego do wygaśnięcia (T – t) dla t należącego do przedziału (0,T). Pozostałe parametry zostały uznane za stałe w celu uproszczenia zapisu. To założenie zostanie w dalszej części uchylone.

Sprawia to, że zarządzenie portfelem opcji staje się wielowymiarową analizą czynników wpływających na tą cenę. Ponieważ jednak model ten pozostaje modelem matematycznym nie ma przeszkód, żeby zastosować w jego analizie wrażliwości rachunek pochodnych. Oznacza to określenie zmiany wartości modelu na nieskończenie małą zmianę wartości zmiennych go charakteryzujących. W przypadku modelu Garmana-Kohlhagena dla opcji walutowych te zmienne to:

• Kurs walutowy spot – X.
• Termin pozostający do wykonania opcji (T – t) dla
• Zmienność ceny spot instrumentu bazowego – σ.
• Wolna od ryzyka ciągła stopa procentowa w kraju waluty kwotowanej – r_d.
• Wolna od ryzyka ciągła stopa procentowa w kraju waluty bazowej – r_f.

Obliczając pochodne cząstkowe równań 4 i 5 z artykułu „Wycena opcji walutowych – wzór Garmana-Kohlhagena” względem wyżej wymienionych parametrów otrzymujemy tzw. współczynniki greckie, czyli miary wrażliwości wyceny opcji ze względu na zmianę tych parametrów. Przyjmując, że w dalszej części wartość premii będzie funkcją nie dwóch, a pięciu parametrów  wprowadzone zostaną następujące oznaczenia:

• Δ (delta) – zmiana wartości opcji ze względu na zmianę kursu spot X.
• Γ (gamma) – zmiana wartości delty ze względu na zmianę kursu spot X.
• Θ (theta) – zmiana wartości opcji ze względu na zmianę czasu pozostającego do wykonania.
• ν (vega) – zmiana wartości opcji ze względu na zmianę zmienności .
• ρ_rd (rho) – zmiana wartości opcji ze względu na zmianę wolnej od ryzyka stopy procentowej w kraju waluty kwotowanej.
• ρ_rf (rho) – zmiana wartości opcji ze względu na zmianę wolnej od ryzyka stopy procentowej w kraju waluty bazowej.

Na potrzeby prezentacji teoretycznej wykorzystane zostaną dwie opcje. Europejska walutowa opcja kupna oraz europejska walutowa opcja sprzedaży. Parametry kontraktów zostały przyjęte arbitralnie i przyjmują następujące wartości:

• C=4.00,
• T=0,410959 roku (150 dni),
• σ=20%,
• r_f=1%,
• r_d=2%.